8. Probabilitas

8.1.1 Peristiwa Mutually Exclusive

Peristiwa mutually exclusive merupakan suatu kondisi dimana peristiwa peristiwa satu tidak memungkinkan terjadinya peristiwa lainnya (tidak mungkin terjadi bersamaan). Terjadinya peristiwa A atu B merupakan penjumlahan kemungkinan terjadinya kedua peristiwa tersebut. Probabilitas peritiwa mutually exclusive dapat dituliskan menggunakan Persamaan (3).

Untuk memudahkan pembaca memahami peristiwa mutually exclusive bayangkan pembaca diminta melemparkan sebuah dadu. Pembaca diminta untuk menentukan peluang munculnya angka 1 atau 6 pada dadu. Kedua peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi bersamaan karena hanya dilakukan menggunakan satu dadu. Selain itu, jumlah himpunan masing-masing peristiwa pertama dan kedua hanyalah satu sehingga tidak memungkinkan adanya irisan pada kedua peristiwa tersebut. Untuk menghitungnya kita dapat langsung menggunakan Persamaan (3).

\[ P\left(1\cup 6\right)=P\left(1\right)+P\left(6\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3} \]

Peristiwa pada contoh soal tersebut dapat digambarkan menggunakan diagram venn yang ditunjukkan pada Gambar 1).

## Warning: package 'knitr' was built under R version 3.5.3

Figure 1: Diagram venn peristiwa mutually exclusive

Jika pembaca ingin menggunakan R untuk menghitung probabilitas peristiwa mutually exclusive, pembaca dapat menggunakan fungsi Prob() pada library prob untuk menghitung secara langsung probabilitas dari subset data. Berikut adalah contoh sintak untuk menghitung probabilitas munculnya angka 1 atau 6 dari pelemparan sebuah dadu:

# menentukan ruang sampel (S)
S <- rolldie(1, makespace=TRUE)

# print
S

##   X1     probs
## 1  1 0.1666667
## 2  2 0.1666667
## 3  3 0.1666667
## 4  4 0.1666667
## 5  5 0.1666667
## 6  6 0.1666667

# membuat subset peristiwa 1 dan 2
library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:prob':
## 
##     intersect, setdiff, union

## The following objects are masked from 'package:timeSeries':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

P1 <- filter(S, X1==1)
P6 <- filter(S, X1==6)

# menghitung probabilitas gabungan
P1$probs + P6$probs

## [1] 0.3333333

# atau
Prob(P1) + Prob(P6)

## [1] 0.3333333

Persamaan (3) dapat diperluas tidak hanya berlaku pada dua buah peristiwa. Jika jenis peristiwa A yang ada sebanyak \(n\), maka Persamaan (3) dapat dituliskan kembali menjadi Persamaan (4).

Kumpulan peristiwa yang terjadi \(\left\{A_1,\ A_2,...,A_n\right\}\) pada ruang sampel \(S\) disebut sebagai partisi S jika \(A_1,\ A_2,...,A_n\) merupakan peristiwa dan \(A_1\cup A_2\cup...\cup A_n=S\). Sehingga probabilitas seluruh partisi tersebut dapat dituliskan pada Persamaan (5).

8.1.2 Peristiwa Not Mutually Exclusive

Bila dua buah peristiwa tidak mutually exclusive, maka kedua peristiwa tersebut dapat terjadi secara bersamaan atau memiliki himpunan yang saling beririsan jika ditinjau dari pembahasan pelemparan dadu sebelumnya. Probabilitas suatu peristiwa yang tidak mutually exclusive dapat dituliskan berdasarkan Persamaan (6).

Untuk memahami peristiwa yang tidak mutually exclusive, pembaca dapat membayangkan kembali melempar sebuah dadu. Pembaca diminta menghitung probabilitas keluar angka ganjil pada dadu atau angka prima pada dadu. Kedua peristiwa tersebut memiliki himpunannya masing-masing. Untuk peristiwa angka ganjil himpunan yang terjadi adalah ganjil={1, 3, 5}, sedangkan untuk angka prima adalah prima={1, 2, 3, 5}. Kedua peristiwa tersebut memiliki irisan himpunan yaitu saat mata dadu menunjukkan angka 1, 3, dan 5. Nilai probabilitas kedua peristiwa tersebut tidak bisa dihitung dengan langsung menjumlahkan probabilitas keduanya masing-masing karena terdapat satu peristiwa yang merupakan bagian dari peristiwa lain sehingga peristiwa tersebut sebagian perlu dihilangkan dari probabilitas salah satunya seperti yang ditulikan pada Persamaan (6). Berdasarkan persamaan tersebut probabilitas yang peristiwa tersebut adalah sebagai berikut:

\[ P\left(ganjil\cup prima\right)=P\left(ganjil\right)+P\left(prima\right)-P\left(ganjil\cap prima\right)=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{3+4-3}{6}=\frac{2}{3} \]

Peristiwa not mutually exclusiev dapat digambarkan menggunakan diagram venn yang ditunjukkan pada Gambar 2).

Figure 2: Diagram venn peristiwa not mutually exclusive

Pada R peristiwa tersebut dapat dihitung menggunakan sintaks berikut:

# kita akan menggunakan kembali objek S pada sintaks sebelumnya
# melakukan subset pada masing-masing peristiwa
ganjil <-subset(S, X1 %in% c(1, 3, 5))
prima <-subset(S, X1 %in% c(1, 2, 3, 5))

# menghitung irirsan kedua peristiwa
irisan <- intersect(ganjil, prima)

# menghitung probabilitas yang terbentuk
Prob(ganjil)+Prob(prima)-Prob(irisan)

## [1] 0.6666667

Untuk contoh yang lain misalkan seorang konsultan pengendalian kerugian diberikan data kerugian klien akibat kebakaran. Terdapat 250 kasus kebakaran dengan sejumlah penyebab. Penyebab utama disebabkan oleh membuang putung rokok sembarangan sebanyak 108 kasus, peralatan memasak sebanyak 95 kasus, pembakaran sebanyak 12 kasus, dan sumber kebakaran tidak diketahui sebanyak 35 kasus. Konsultan pengendalian kerugian ingin mengetahui berapa probabilitas untuk memilih klaim kebakaran dari kelompok dengan penyebab utama akibat aktivitas merokok sembarangan atau akibat pembakaran. Karena konsultan menentukan probabilitas “satu atau yang lain,” ia akan menentukan probabilitas berdasarkan peristiwa majemuk. Konsultan kemudian harus menentukan apakah peristiwa tersebut mutually exclusive atau tidak. Untuk melakukannya ia harus menjawab pertanyaan “Dapatkan seseorang melakukan klaim bahwa peristiwa kebakaran dapat disebabkan oleh aktivitas merokok dan pembakaran yang dilakukan secara bersamaan?. Konsultan menentukan bahwa ini tidak mungkin Oleh karena itu, peristiwa-peristiwa tersebut mutually exclusive dan probabilitas dari kedua peristiwa yang terjadi pada saat yang sama adalah nol. Probabilitas selanjutnya dapat dihitung menggunakan Persamaan (6).

\[ P\left(merokok\cup pembakaran\right)=P\left(merokor\right)+P\left(pembakaran\right)-P\left(merokok\cap pembakaran\right) \]

\[ P\left(merokok\cup pembakaran\right)=\left(\frac{108}{250}\right)+\left(\frac{12}{250}\right)-0=0,48\ atau\ 48\% \]

Persamaan (6) dapat diperluas tidak hanya menggunakan dua buah peristiwa tapi dapat dihitung nilai probabilitasnya untuk lebih dari dua peristiwa. Pada Persamaan (7) disajikan persamaan untuk menghitung probabilitas untuk 3 buah peristiwa.

Untuk peristiwa yang lebih banyak kita perlu menggambarkan terlebih dahulu diagram venn dari ruang sampel yang akan kita gunakan.

8.1.3 Peristiwa Dependent

Peristiwa dependent terjadi bila probabilitas terjadinya satu peristiwa (peristiwa A) dipengaruhi oleh probabilitas terjadinya peristiwa lainnya (peristiwa B) atau \(P\left(B\mid A\right)\). Peristiwa ini merupakan probabilitas kondisional karena terjadinya B dipengaruhi oleh terjadinya A. Pendekatan yang digunakan dituliskan pada Persamaan (8).

Untuk memahami probabbilitas kondisional bayangkan pembaca harus melakukan survey terkait studi AMDAL di suatu kota. Responden yang digunakan merupakan seseorang yang telah menyelesaikan kuliahnya atau telah memperoleh gelar sarjana. Kategorisasi terhadap populasi dilakukan berdasarkan jenis kelamin dan status pekerjaan dengan jumlah yang proporsional dengan jumlah populasinya yang dapat dilihat pada Tabel 1. Sampel diambil dari populasi tersebut sesuai dengan proporsi jenis kelamin dan status pekerjaan. Pada studi ini ingin diketahui manfaat dari pembangunan industri pendirian industri baru bagi kota tersebut.

Proses survey dilakukan dengan metode wawancara. Responden yang telah dilakukan wawancara selanjutnya tidak boleh diwawancarai lagi sehingga pada jumlah keseluruhan sampel terus berkurang. Hitunglah probabilitas kondisional dari pengambilan responden laki-laki akibat pengambilan responden seseorang yang telah bekerja?.

Berdasarkan contoh tersebut terdapat dua buah peristiwa yaitu peristiwa responden yang telah bekerja (dilambangkan dengan E) dan responden laki-laki (dilambangkan dengan M) atau dapat dituliskan sebagai berikut:

M : seorang laki-laki yang terpilih. E : seseorang yang dipilih dan telah bekerja.

Probabilitas kondisional dari pengambilan responden laki-laki akibat pengambilan responden seseorang yang telah bekerja selanjutnya dihitung seperti berikut:

\[ P\left(M\mid E\right)=\frac{460}{600}=\frac{23}{30} \]

Misalkan \(n\left(A\right)\) merupakan notasi yang menyatakan jumlah elemen dari suatu set A. Dengan menggunakan notasi tersebut, dimana setiap orang dewasa yang telah menyelesaikan studinya memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih sebagai responden dalam penelitian dapat dituliskan sebagai berikut:

\[ P\left(M\mid E\right)=\frac{n\left(E\cap M\right)}{n\left(E\right)}=\frac{\frac{n\left(E\cap M\right)}{n\left(S\right)}}{\frac{n\left(E\right)}{n\left(S\right)}} \]

\[ P\left(M\mid E\right)=\frac{P\left(E\cap M\right)}{P\left(E\right)} \]

Persamaan yang dihasilkan sesuai dengan Persamaan (8), dimana \(P\left(E\cap M\right)\) dan \(P\left(E\right)\) dihitung berdasarkan besarnya ruang sampel S. Untuk memverivikasi hasil yang telah diperoleh sebelumnya, kita dapat melakukan perhitungan seperti berikut:

\[ P\left(E\right)=\frac{600}{900} \] serta

\[ P\left(E\cap M\right)=\frac{460}{900}=\frac{23}{45} \]

Sehingga

\[ P\left(E\ \mid M\right)=\frac{\frac{23}{45}}{\frac{2}{3}}=\frac{23}{30} \]

Berdasarkan hasil yang diperoleh telah dapat dibuktikan bahwa probabilitas kondisional dari pengambilan responden laki-laki akibat pengambilan responden seseorang yang telah bekerja sebesar \(\frac{23}{30}\). Probabilitas lainnya dapat pembaca hitung sendiri untuk lebih memperdalam pengetahuan pembaca mengenai probabilitas kondisional.

Pada R dengan menggunakan contoh soal sebelumnya kita dapat melakukan perhitungan probabilitas kondisional pengambilan sampel laki-laki akibat dari pengambilan sampel seseorang yang telah bekerja. Sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

# membuat data frame
S <- data.frame("jenis_kelamin"=c("laki-laki","perempuan"),"bekerja"=c(460,140), "belum_bekerja"=c(40,260))

# reshaping
library(tidyr)

## Warning: package 'tidyr' was built under R version 3.5.3

S<-gather(S, key="status_pekerjaan",value="frekuensi",-jenis_kelamin)

# melakukan subset dan menghitung probabilitas
# peluang responden merupakan pegawai
E <- filter(S, status_pekerjaan=="bekerja")
P_E <- sum(E$frekuensi)/sum(S$frekuensi)
# peluang reponden laki-laki dan berkerja
E_M <- filter(S, status_pekerjaan=="bekerja"&jenis_kelamin=="laki-laki")
P_E_M <-sum(E_M$frekuensi)/sum(S$frekuensi)

# Probabilitas kondisional
P_E_M/P_E

## [1] 0.7666667

8.1.4 Peristiwa Independent

Untuk menentukan probabilitas dua atau lebih peristiwa akan terjadi bersamaan, perlu ditentukan terlebih dahulu apakaha peristiwa-peristiwa tersebut bersifat bebas. Misalnya dalam melempar 2 buah dadu, probabilitas munculnya angka 1 pada dadu pertama adalah \(\frac{1}{6}\) dan probabilitas munculnya angka 2 pada dadu kedua juga sama dengan dadu pertama. Jika kita menginginkan kedua nilai tersebut muncul bersamaan pada saat pelemparan, maka probabilitas kejadiannya adalah hasil perkalian kedua probabilitas peristiwa pada masing-masing dadu yaitu \(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\). Pendekatan perhitungan probabilitas untuk peristiwa independent dapat dituliskan pada Persamaan (9).

Dengan menggunakan contoh soal sebelumnya, kita akan menentukan probabilitas responden penelitian kita adalah laki-laki (L) dan bekerja (E). Berdasarkan Persamaan (9), probabilitas terpilihnya jenis responden tersebut adalah sebagai berikut:

\[ P\left(L\cap E\right)=\frac{500}{900}\cdot\frac{300}{900}=\frac{5}{27} \]

Dengan menggunakan R sintaks yang digunakan adalah sebagai berikut:

# subset responden laki-laki
L <- filter(S, jenis_kelamin=="laki-laki")
E <- filter(S, status_pekerjaan=="bekerja")

# probabilitas
P_L <- sum(L$frekuensi)/sum(S$frekuensi)
P_E <- sum(E$frekuensi)/sum(S$frekuensi)

# Probabilitas peristiwa independen
P_L*P_E

## [1] 0.3703704