11. Uji Hipotesis

11.1.1 Klasifikasi Berdasarkan Skala Pengukuran

Skala pengukuran dalam suatu data dapat berupa kategorikal atau numerikal. Suatu pengukuran dapat melakukan perbandingan antara dua buah grup (kategori) berdasarkan data kontinu yang dimiliki masing-masing grup. Uji hipotesis yang digunakan adalah uji perbandingan dua populasi. Jika terdapat lebih dari dua populasi maka uji yang digunakan adalah uji anova.

Contoh lainnya misalkan kita memiliki dua buah data dengan skala kontinu. Kita ingin mengetahui korelasi antara dua variabel tersebut, maka uji hipotesis yang digunakan adalah uji korelasi.

Bagaimana jika skala pengukuran data kita seluruhnya kategorikal? jika skala pengukuran data kita seluruhnya adalah kategori, kita perlu membuat tabel kontingensi yang mengukur frekuensi kejadian pada masing-masing grup atau antara satu gruo terhadap grup yang lain. Uji hipotesis yang digunakan adalah uji asosiasi.

Pada Chapter ini kita hanya akan membahas uji hipotesis yang digunakan pada satu populasi. Uji hipotesis lain seperti uji hipotesis untuk 2 populasi, anova, korelasi dan asosiasi akan dibahas pada Chapter lainnya.

11.1.2 Klasifikasi Berdasarkan Distribusi Data

Uji hipotesis yang melibatkan sejumlah asumsi seperti ditribusi data mengikuti distribusi tertentu (biasanya ditribusi normal) disebut sebagai uji hipotesis parametrik. Dinamakan uji parametrik karena uji ini melibatkan parameter-parameter yang ada pada data seperti nilai mean dan simpangan baku. Uji ini sangat bagus digunakan jika data kita benar-benar mengikuti asumsi ditribusi yang diinginkan. Jika tidak maka hasil uji yang diperoleh dapat menghasilkan keputusan yang salah. Hal ini disebabkan karena uji ini memiliki sensitifitas yang rendah (power) untuk mendeteksi efek nyata.

Alternatif lain yang dapat digunakan untuk melakukan uji hipotesis adalah dengan melakukan uji hipotesis nonparameterik. Uji ini tidak mengasumsikan data mengikuti distribusi tertentu. Informasi pada uji ini diperoleh dengan melakukan rangking pada data. Hal ini tentu berbeda dengan uji parametrik yang mengharuskan kita mengekstrak parameter pada data. Kesalahpahaman yang umum adalah pada uji nonparametrik memungkinkan terjadinya kehilangan informasi dibandingkan dengan tes parametrik karena tes nonparametrik membuang nilai data. Bradley (1968) dalam bukunya “Distribution-Free Statistical Tests” menanggapi kesalahpahaman ini: “Sebenarnya, pemanfaatan informasi sampel tambahan [dalam parameter] dimungkinkan oleh informasi populasi tambahan yang terkandung dalam asumsi uji parametrik. Oleh karena itu, uji bebas distribusi hanya membuang informasi hanya jika pada uji parametrik asumsi diketahui benar (data mengikuti distribusi tertentu).” Alih-alih membuang informasi, tes nonparametrik secara efisien mengekstraksi informasi pada besaran relatif (rangking) data tanpa menciutkan informasi menjadi hanya beberapa statistik sederhana.

11.2.1 Memilih Uji yang Sesuai

Prosedur uji dipilih berdasarkan karakteristik data dan tujuan studi. Kriteria pertama untuk memilih uji statistik yang sesuai adalah dengan melihat skala pengukuran pada data. Kita telah membahas ini pada klasifikasi uji berdasarkan skala pengukuran data.

Kriteria kedua yang digunakan adalah tujuan dari pengujian. Uji hipotesis yang tersedia dapat digunakan untuk melihat beda antara dua nilai sentral dua grup, tiga atau lebih grup, sebaran data antar grup, kovariansi antara dua atau lebi variabel antara satu sama lain.

Kriteria ketiga yang digunakan adalah memilih apakah akan melakukan uji parameterik atau nonparameterik. Pemilihan berdasarkan kriteria ini perlu melihat asumsi distribusi uji statististik apakah telah terpenuhi atau belum. Jika suatu data berdistribusi normal maka uji parametrik akan lebih dipilih, jika sebaliknya atau distribusi data tidak mengikuti distribusi tertentu maka uji yang digunakan adalah uji nonparametrik. Power dar uji parametrik untuk menolah hipotesis nol ketika hipotesis nol salah dapat sangat rendah jika digunakan pada data yang tidak berdistribusi normal. Selain itu, error tipe II biasanya juga terjadi pada uji parametrikpada data dengan distribusi tidak normal.

Transformasi data sering digunakan agar distribusi data mendekati distribusi normal. Jenis tranformasi akan berbeda pada setiap data sehingga proses transformasi akan mencoba pada berbagai format. Kendala yang timbul pada proses ini adalah jika kita akan melakukan uji pada dua atau lebih grup data. Jenis transformasi pada satu grup data bisa saja tidak berlaku untuk grup data lainnya. Jika kita paksakan transformasi ynag berbeda-beda pada tiap grup, maka pembacaan hasil yang diperoleh akan lebih sulit. Hal ini tidak terjadi jika sejak awal data yang tidak mengikuti distribusi normal dilakukan uji nonparametrik.

Untuk mempermudah proses pemilihan uji yang sesuai, Gardener (2012) membuat skema pemilihan uji hipotesis yang disajikan pada Gambar 1

Figure 1: Skema pemilihan uji hipotesis (sumber: Gradener, 2012).

11.2.2 Hipotesis Nol dan Alternatif

Uji hipotesis akan melakukan perbandingan antara dua buah hipotesis, hipotesis nol (\(H_0\)) dan hipotesis alternatif (\(H_a\)). Desain \(H_0\) dan \(H_a\) yang benar merupakan tahapan yang paling penting sebab prosedur uji hipotesis didesain untuk cenderung memilih hipotesis nol, sehingga \(H_0\) tidak akan ditolak kecuali terdapat bukti kuat untuk menolaknya berdasarkan data yang kita miliki. Analogi ini mirip dengan istilah “praduga tak bersalah”, dimana tersangka akan dianggap tidak bersalah kecuali terbukti sebaliknya berdasarkan bukti-bukti persidangan.

Impilkasi dari kondisi yang telah dijelaskan di atas adalah ketika \(H_0\) diterima, kita tidak bisa menyatakan bahwa hipotesis tersebut benar. Hal yang tepat pada kondisi tersebut adalah tidak ada bukti yang cukup kuat pada data untuk menolaknya. Untuk memahaminya kita akan menggunakan contoh prosedur uji berbasis rentang kepercayaan (confidence interval) yang menolak \(H_0:\mu=\mu_0\) jika \(\mu_0\) tidak berada pada rentang kepercayaan \(\mu\) (lihat lagi pada Chapter 10). Karena setiap nilai dalam rentang kepercayaan adalah kandidat yang masuk akal (diberikan pada set data) untuk nilai parameter sebenarnya, jelas bahwa dengan tidak menolak \(H_0:\mu=\mu_0\), kita belum membuktikan bahwa \(H_0\) benar. Prosedur pengujian memberikan bukti statistik hanya ketika H0 ditolak. Dalam hal ini dapat diklaim bahwa alternatif telah dibuktikan (dalam arti statistik) pada tingkat signifikansi \(\alpha\). Tingkat signifikansi mengkuantifikasi keraguan wajar yang bersedia kita terima ketika menolak hipotesis nol.

Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan yang perlu dibuktikan secara statistika disebut sebagai \(H_a\). Penyataan pelengkapnya disebut sebagai \(H_0\) atau peryataan yang dianggap benar kecuali terbukti sebaliknya. Hal terpenting dalam desain \(H_0\) adalah perlunya penggunaan equality sign (=, \(\le\), atau \(\ge\)) sebagai bagian dari desain \(H_0\).

Untuk memahaminya misalkan diinginkan pengujian hipotesis bahwa rata-rata populasi adalah 100. Buatlah format hipotesis yang digunakan jika hipotesis alternatifnya menginginkan nilai rata-rata yang lebih besar?. Berdasarkan kondisi tersebut maka format hipotesisnya adalah sebagai berikut.

\(H_0\): \(\mu=100\)

\(H_a\): \(\mu > 100\)

11.2.3 Statistik Uji dan Aturan Penolakan

Pada uji statistik terdapat dua buah nilai yang penting untuk diketahui yaitu nilai statistik uji dan aturan penolakan. Uji statistik yang digunakan untuk menguji \(H_0\) terkait parameter \(\mu\) dapat didasarkan pada titik estimasi \(\hat\mu\) dari \(\mu\). Aturan penolakan menentukan kapan \(H_0\) harus ditolak. Pada dasarnya \(H_0\) ditolak ketika nilai uji statistik berada pada sejumlah rentang (lebih besar, atau lebih kecil, atau keduanya tergantung pada \(H_a\)) yang menyatakan bahwa pada nilai tersebut tidak mungkin jika \(H_0\) benar.

Menggunakan contoh kasus sebelumnya dimana kita kan menguji \(H_0\): \(\mu=100\). \(H_0\) ditolak jika nilai statistik uji lebih kecil sama dengan 100 atau \(H_a\le C_1\) sebagai contoh nilai statistik ujinya adalah 90,80, dst. Bagaimana jika hipotesis ujinya \(H_a\): \(\mu \le 100\)?. Sama dengan sebelumnya maka penolakan \(H_0\) terjadi jika nilai uji statistiknya \(H_a>C_2\) seperti 110, 120, dst. Kondisi lain yang dapat juga diterapkan jika \(H_a\): \(\mu \neq 100\), maka \(H_0\) ditolak jika nilai statistik ujinya adalah \(H_a<C_3\) atau \(H_a>C_4\)

Bagaimana cara tepat untuk memilih menggunakan nilai konstanta \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\), atau \(C_4\)? jawabannya adalah dengan menggunakan tingkat signifikansinya atau error (tingkat kesalahan). Tingkat signifikansi didefinisikan sebagai probabilitas (terbesar) untuk menolak \(H_0\) secara tidak benar, atau, dengan kata lain, probabilitas (terbesar) untuk menolak \(H_0\) ketika \(H_0\) benar.

Seperti yang telah disebutkan, tingkat signifikansi menentukan risiko (atau, dalam hal legalistik, keraguan yang masuk akal) kita bersedia menerima kesalahan karena menyimpulkan bahwa \(H_0\) salah. Ternyata konstanta \(C_1\) dan \(C_2\) dapat ditentukan dengan menentukan tingkat signifikansi.

11.2.4 P-Value

P-value merupakan probabilitas untuk memperoleh statistik uji yang dihitung, atau yang lebih kecil kemungkinannya, ketika hipotesis nolnya benar. P-value mengukur “kepercayaan” dari hipotesis nol. Semakin kecil p-value, semakin kecil kemungkinan statistik uji kemungkinan statistik uji yang diamati ketika \(H_0\) benar, dan semaikn kuat bukti penolakan \(H_0\). P-value disebut juga sebagai tingkat signifikansi yang dicapai oleh data.

Bagaimana bisa p-value berbeda dengan \(\alpha\)-level?. \(\alpha\)-level tidak bergantung pada data, tapi telah ditetapkan sebagai suatu resiko untuk melakukan error tipe I yang dapat diterima. \(\alpha\)-level merupakan nilai kritis yang memungkinkan sebuah keputusan “ya/tidak” dibuat. P-value menyediakan informasi lebih sepeti bukti kuat secara scientific. Penggunaan p-value memungkinkan seseorang dengan toleransi resiko berbeda-beda (\(\alpha\) berbeda) untuk membuat keputusannya sendiri.

11.2.5 Membuat Keputusan Untuk Menolak Hipotesis Nol atau Tidak

Ketika p-value lebih kecil dari \(\alpha\)-level, maka \(H_0\) ditolak. Sebaliknya jika p-value lebih besar dari \(\alpha\), maka \(H_0\) diterima. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa penerimaan hipotesis nol tidak berarti \(H_0\) pasti benar. \(H_0\) siasumsikan benar sampai terbukti sebaliknya dan tidak ditolak sampai dengan terdapat bukti yang cukup kuat untuk menolaknya.

11.3.1 Uji Parametrik

Pada uji parametrik asumsi normalitas distribusi sampel menjadi sesuatu yang penting agar hasil yang diperoleh valid. Pada uji satu populasi untuk uji parametrik terdapat dua pertimbangan dalam pemilihan metode uji yaitu varians populasi serta ukuran sampel.

Jika varians populasi diketahui maka kita dapat menggunakan pendekatan distribusi normal. Jika simpangan baku populasi (\(\sigma\)) tidak diketahui serta jumlah sampel kecil maka pendekatan dilakukan menggunakan distribusi t. Kondisi lain yang perlu dipertimbangkan adalah saat sampel yang kita miliki besar, namun simpangan baku populasi tidak diketahui. Hal ini merupakan kondisi yang banyak ditemukan di lingkungan. Beberapa textbook menjelaskan bahwa uji satu sampel untuk kondisi tersebut dapat menggunakan pendekatan distribusi normal sehingga simpangan baku populasi didekati dengan simpangan baku sampel (\(s\)). Hal ini sesuai dengan teori limit pusat dimana semakin besar ukuran sampel, maka nilai statistik sampel (mean dan simpangan baku) akan mendekati populasinya. Berikut adalah prosedur dalam melakukan uji hipotesisnya:

Prosedur Uji Hipotesis

• Asumsi : Distribusi normal
• Hipotesis nol (\(H_0\)) : \(\mu=\mu_0\)
• Statistik Uji:

• Aturan penolakan (RR) berdasarkan variasi \(H_a\)

Aturan penolakan berdasarkan variasi \(H_a\) dan pendekatan distribusi yang digunakan disajikan pada Tabel 2.

• Formula p-value

• Distribusi Normal

• Distribusi t

dimana \(G_{n-1}\) adalah CDF (fungsi densitas kumulatif) dari distribusi t.

\(\mu<\mu_0\) | \(Z_{H_0}\le -Z_\alpha\) | \(T_{H_0}< -t_{n-1,\alpha}\) | \(\mu\neq\mu_0\) | \(Z_{\frac{\alpha}{2}}\le Z_{H_0}\le Z_{\frac{\alpha}{2}}\) | \(-t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}<T_{H_0}< t_{n-1,\frac{\alpha}{2}}\) |

: (#tab:stha) Aturan penolakan berdasakan hipotesis alternatif.

Uji Hipotesis Menggunakan R

• Distribusi Normal

Untuk menghitung p-value pada distribusi normal kita dapat menggunakan fungsi pnorm() (probabilitas kumulatif). Berikut adalah sintaks yang digunakan:

# uji satu sisi
1-pnorm(((x/n)-mu)/(sd/sqrt(n)))
pnorm(((x/n)-mu)/(sd/sqrt(n)))

# uji dua sisi
2*(1-pnorm(abs(((x/n)-mu)/(sd/sqrt(n)))))

Note:

• x/n: rata-rata sampel
• mu: rata-rata populasi
• sd: simpangan baku
• n: ukuran sampel

• Distribusi t

Pada uji hipotesis menggunakan distribusi t, fungsi yang digunakan sudah tersedia pada R. Fungsi yang digunakan adalah t.test(). Berikut adalah format fungsi yang digunakan:

t.test(x, y = NULL,
       alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
       conf.level = 0.95, ...)

Note:

• x,y: vektor numerik. Kedua argumen akan terisi jika akan dilakukan uji hipotesis untuk dua populasi.
• alternative: diguanakan untuk menentukan jenis uji hipotesis apakah satu sisi(“less” dan “greater”), atau dua sisi (“two.sided”).
• mu: rata-rata populasi. Secara default nilainya 0
• paired: vektor logikal yang menentukan apakah uji dua populasi digunakan untuk sampel berpasangan (TRUE) atau tidak (FALSE).
• conf.level: tingkat kepercayaan. Secara default tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 95%.

Jawab:

\[ Hipotesis \begin{cases} H_0:\mu=16kg\\ H_a:\mu<16kg \end{cases} \]

dengan \(n>30\) dan \(\sigma\) diketahui, maka digunakan distribusi normal. Nilai Z untuk \(\alpha=0,01\) adalah \(-2,33\) dengan daerah penolakan berada pada rentang \(Z_{H_0}\le -Z_\alpha\).

Statistik uji diperoleh berdasarkan Persamaan (1).

\[ Z_{H_0}=\frac{15,7-16}{\frac{0,2}{\sqrt{36}}}=-9,00 \]

Nilai p-value selanjutnya dapat dihitung menggunakan Persamaan (3).

\[ \Phi\left(Z_{-9}\right)=1.128588e-19 \]

Pada R p-value dapat dihitung menggunakan sintaks berikut:

pnorm(((15.7)-16)/(0.2/sqrt(36)))

## [1] 1.128588e-19

Kesimpulan: p-value < \(\alpha\), atau \(H_0\) ditolak. Berat rata-rata sampel < 16 kg (di bawah standard) sehingga diperlukan pembenahan dalam penimbangan kompos ke kantongnya agar sesuai standard.

Jawab:

\[ Hipotesis \begin{cases} H_0:\mu=17kg\\ H_a:\mu\ne17kg \end{cases} \]

dengan \(n\le30\) dan \(\sigma\) tidak diketahui maka pengujian dilakukan dengan menggunakan distribusi t. Daerah penerimaan \(H_0\) untuk \(\alpha=0,01\) dan \(df=7-1=6\) berada pada rentang \(-3,143<T{H_0}<3,143\).

Statistik uji dihitung menggunakan Persamaan (2).

\[ T_{H_0}=\frac{19-17}{\frac{4}{\sqrt{7}}}=1,322876 \]

p-value selanjutnya dapat dihitung menggunakan Persamaan (4).

\[ 2\left[1-G_{6}\left|T_{1,323}\right|\right]=0,2340573 \]

p-value pada R dapat dihitung menggunakan fungsi pt() (fungsi densitas kumulatif). Berikut adalah sintaks yang digunakan:

2*(1-pt(1.322876, df=6))

## [1] 0.2340573

# atau
set.seed(48)
t.test(x=rnorm(n=7, mean=19, sd=4), 
       mu=17,alternative="two.sided",
       conf.level=0.99)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  rnorm(n = 7, mean = 19, sd = 4)
## t = 1.1742, df = 6, p-value = 0.2848
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 17
## 99 percent confidence interval:
##  10.97128 28.61775
## sample estimates:
## mean of x 
##  19.79452

Kesimpulan: p-value > \(\alpha\). Terima \(H_0\). Pernyataan pengusaha tersebut dapat diterima.

Berdasarkan hasil perhitungan di atas penulis menggunakan dua cara yaitu dengan menggunakan fungsi pt() dan t.test(). Pada fungsi t.test() penulis perlu mereproduksi kembali data berdasarkan nilai mean dan simpangan baku yang ada. Hal ini tentu berbeda dengan cara satunya, namun kelebihan cara ini kita bisa melakukan uji hipotesis sekaligus menghitung rentang keyakinan dari sampel. Hasil yang diperoleh juga tidak berbeda antara kedua cara tersebut, sehingga pembaca bebas untuk menggunakan salah satunya.

11.3.2 Uji Nonparametrik

Uji nonparametrik tidak memerlukan asumsi sampel untuk mengikuti distribusi tertentu. Untuk uji hipotesis satu populasi terdapat dua macam uji nonparametrik, yaitu: sign test dan signed-rank test. Kedua uji tersebut menggunakan nilai median sebagai nilai pemusatan data (data tidak berdistribusi normal).

# membuat vektor numerik
df <- c(1.5, 2.2, 0.9, 1.3, 2.0, 
        1.6, 1.8, 1.5, 2.0, 1.2, 1.7)

# cek panjang vektor
length(df)

## [1] 11

# menghitung selisih nilai elemen vektor dengan median
df_new <- df-1.8

# print
df_new

##  [1] -0.3  0.4 -0.9 -0.5  0.2 -0.2  0.0 -0.3  0.2 -0.6 -0.1

# subset nilai vektor positif
df_new2 <- df_new[df_new>0]

# print
df_new2

## [1] 0.4 0.2 0.2

# x
x <- length(df_new2)

# n
n <- length(df_new[df_new!=0])

2*pbinom(q=x, size=n, prob=0.5)

## [1] 0.34375

2*pnorm(q=2.5, mean=n*0.5, sd=sqrt(n*(0.5^2)))

## [1] 0.1138463

sign.test <- function(df, median, alternative){
  df_new <- df-median
  x <- length(df_new[df_new>0])
  n <- length(df_new[df_new!=0])
  if(n<10){
    if(alternative=="two.sided"){
      p.value=2*pbinom(q=x, size=n, prob=0.5)
    }else if(alternative=="greater"){
      p.value=1-pbinom(q=x, size=n, prob=0.5)
    }else if(alternative=="lower"){
      p.value=pbinom(q=x, size=n, prob=0.5)
    }else{
      warning("You must determine the alternative")
    }
  }else{
    if(alternative=="two.sided"){
      p.value=2*pnorm(q=x-0.5, mean=n*0.5, 
                      sd=sqrt(n*(0.5^2)))
    }else if(alternative=="greater"){
      p.value=0.5-pnorm(q=x-0.5, mean=n*0.5, 
                      sd=sqrt(n*(0.5^2)))
    }else if(alternative=="lower"){
      p.value=pnorm(q=x-0.5, mean=n*0.5, 
                      sd=sqrt(n*(0.5^2)))
    }else{
    warning("You must determine the alternative")
    }
  }
  p.value
}

sign.test(df=df, median=1.8, alternative="two.sided")

## [1] 0.1138463

wilcox.test(x, y = NULL,
            alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
            mu = 0, paired = FALSE, conf.level = 0.95, ...)

wilcox.test(x=df, alternative ="two.sided", mu = 1.8,
            conf.level = 0.95)

## Warning in wilcox.test.default(x = df, alternative = "two.sided", mu =
## 1.8, : cannot compute exact p-value with ties

## Warning in wilcox.test.default(x = df, alternative = "two.sided", mu =
## 1.8, : cannot compute exact p-value with zeroes

## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  df
## V = 13, p-value = 0.1522
## alternative hypothesis: true location is not equal to 1.8

11.4.1 Shapiro-Wilk

Metode uji normalitas Shapiro-Wilk merupakan metode uji normalitas nonparametrik yang memiliki power yang besar, khususnya untuk sampel berukuran relatif kecil. Versi awal metode ini terbatas dengan jumlah sampel 3 sampai 50 sampel. Versi selanjutnya mengalami modifikasi sehingga dapat menangani sampel sampai dengan 5000 sampel bahkan lebih.

Versi awal persamaan matematis metode Shapiro-Wilk disajikan pada Persamaan (10)

dimana \(m=\frac{n}{2}\) (\(n\) genap) dan \(m=\frac{n-1}{2}\) (\(n\) ganjil), \(n\) merupakan jumlah sampel, dan \(a\) merupakan bobot yang didasarkan pada nilai \(n\) (tabel penentuan nilai \(a\) dapat pembaca lihat pada tautan http://www.real-statistics.com/statistics-tables/shapiro-wilk-table/).

Untuk perhitungan secara manual, langkah-langkah perhitungannya adalah sebagai berikut:

1. Urutkan nilai data dari yang terkecil sampai terbesar.
2. Tentukan nilai \(m\) dari jumlah sampel \(n\).
3. Hitung jumlah selisih kuadrat sampel (penyebut pada Persamaan (10))
4. Hitung nilai selisih \(a_{i}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\).
5. Hitung nilai \(W\) menggunakan Persamaan (10).
6. Untuk menghitung nilai p-value gunakan Tabel Shaphiro-Wilk yang dapat pembaca akses pada tautan http://www.real-statistics.com/statistics-tables/shapiro-wilk-table/. Gunakan metode interpolasi untuk memperoleh nilai yang paling mendekati \(W\). Misal diperoleh \(W=0,975\) dengan \(n=10\). Berdasarkan Tabel Shapiro-Wilk nilai p-value uji berada antara 0,90 (\(W=0,972\)) dan 0,95 (\(W=0,978\)).

Untuk jumlah sampel yang besar (sampai 5000) Persamaan (10) dimodifikasi menjadi Persamaan (11).

Nilai p-value uji selanjutnya dihitung menggunakan pendekatan kurva normal standard (\(Z\)). Persamaan (12) menyajikan cara menghitung nilai koefisien \(Z\).

dimana

Contoh perhitungan uji normalitas Shapiro-Wilk dapat pembaca cek pada tautan http://www.real-statistics.com/tests-normality-and-symmetry/statistical-tests-normality-symmetry/shapiro-wilk-test/ dan http://www.real-statistics.com/tests-normality-and-symmetry/statistical-tests-normality-symmetry/shapiro-wilk-expanded-test/

11.4.2 Cramer-von Mises

Uji normalitas Cramér-von Mises adalah tes fungsi omnibus distribusi empiris untuk hipotesis normalitas komposit. Uji ini menggunakan jumlah selisih kudrat antara proporsi kumulatif yang diamati dan yang diharapkan. Statistik uji metode ini disajikan pada Persamaan (15).

dimana

merupakan fungsi distribusi kumulatif distribusi normal standard. \(\bar{x}\) dan \(s\) merupakan nilai mean dan simpangan baku sampel.

p-value dari statistik uji dapat dihitung menggunakan pendekatan fungsi normal standard (nilai Z) berdasarkan pada Tabel 4.9 Stephens (1986) menggunakan Persamaan (17).

11.4.3 Shapiro-Francia

Uji normalitas Shapiro-Francia merupakan versi sederhana dari uji Shapiro_Wilk. Uji ini secara umum sama dengan uji Shapiro-Wilk untuk jumlah data yang besar. Seperti uji Shapiro-Wilk, uji Shapiro-Francia menghitung nilai \(W\) untuk melihat apakah data berasal dari distribusi normal atau tidak. Jika data berdistribusi normal, maka akan terdapat korelasi antara data yang telah diurutkan dan nilai Z yang diambil dari distribusi normal standard.

Nilai statistik uji dihitung menggunakan Persamaan (18) untuk data yang telah diurutkan.

dimana \(x_i\) merupakan data pada urutan ke-i, \(m_i\) merupakan nilai perkiraan yang diharapkan pada data dengan urutan ke-i dari kuantil normal (atau nilai z). \(m_i\) dapat dihitung menggunakan Persamaan (19)

dimana \(\Phi^{-1}\) merupakan nilai inverse dari distribusi normal standard (Z). Nilai p-value selanjutnya dapat dihitung menggunakan Tabel Shapiro-Francia pada Appendix D tautan https://www.itrcweb.org/gsmc-1/Content/Resources/Unified_Guidance_2009.pdf#10.5.2.

11.4.4 Anderson-Darling

Uji normalitas Anderson-Darling merupakan uji fungsi omnibus densitas empiris (EDF) untuk hipotesis normalitas komposit. Statistik uji disajikan pada Persamaan (20)

p-value selanjutnya dapat dihitung menggunakan pendekatan distribusi normal standard menggunakan nilai Z berdasarkan Tabel 4.9 di Stephens (1986). Perhitungan nilai Z disajikan pada Persamaan (21).

Uji Anderson-Darling merupakan uji EDF yang direkomendasikan oleh Stephens (1986). Dibandingkan dengan uji Cramer-von-Misses (sebagai alternatif kedua), uji Anderson-Darling memberikan bobot lebih pada ekor distribusi.

11.4.5 Liliefors (Kolmogorov-Smirnov)

Ujnormalitas Liliefors (Kolmogorov-Smirnov) merupakan uji fungsi omnibus distribusi empiris untuk uji normalitas komposit. Statistik uji yang digunakan didasarkan pada nilai selisih absolut maksimum antara fungsi distribusi kumulatif empiris dan hipotetikal. Komuptasi statistik uji disajikan pada Persamaan (22).

dimana

p-value dihitung berdasarkan formula Dallas-Wilkinson (1986), dimana diklaim hanya dapat diandalkan ketika p-value lebih kecil dari 0,1. Jika p-value Dallas-Wilkinson lebih besar dari 0,1, maka p-value dihitung menggunakan pendekatan distribusi normal standard (lihat Stephens(1974)). Pehitungan nilai Z menggunakan Persamaan (24).

11.4.6 Pearson Chi-square

Statistik uji Pearson chi-square disajikan pada Persamaan (25).

dimana \(C_i\) merupakan jumlah observasi terhitung dan \(E_i\) merupakan jumlah observasi estimasi di kelas i. Nilai uji tersebut selanjutnya digunakan untuk menghitung p-value menggunakan table chi-square.

Uji normalitas chi-square tidak direkomendasikan digunakan untuk menguji hipotesis normalitas komposit. Hal ini disebabkan karena uji ini memiliki power yang rendah.

11.4.7 Uji Normalitas menggunakan R

Terdapat beberapa library yang dapat digunakan untuk melakukan uji normalitas pada R. Library yang tersedia diantaranya adalah library stats, nortest, dan RcmdrMisc. Pada Tabel 6 disajikan fungsi-fungsi uji normalitas beserta library fungsi tersebut:

Note:

• x: vektor numerik
• test: argumen tambahan berupa fungsi uji normalitas. misal: shapiro.test.

Jawab:

Berikut adalah sintaks untuk melakukan uji normalitas pada R:

shapiro.test(airquality$Ozone)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  airquality$Ozone
## W = 0.87867, p-value = 2.79e-08

# atau
library(RcmdrMisc)

## Warning: package 'RcmdrMisc' was built under R version 3.5.3

## Loading required package: car

## Warning: package 'car' was built under R version 3.5.3

## Loading required package: carData

## Loading required package: sandwich

## Warning: package 'sandwich' was built under R version 3.5.3

normalityTest(airquality$Ozone, test="shapiro.test")

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  airquality$Ozone
## W = 0.87867, p-value = 2.79e-08

Kesimpulan: dengan menggunakan \(alpha=5%\) dapat disimpulkan bahwa distribusi konsentrasi Ozone pada dataset airquality tidak berdistribusi normal.